水工系コンサルタントのための数値解析講習会
担当講師：重枝未玲教授
九州工業大学
九州工業大学
数値解析の基礎から応用まで、水理学・河川工学・数値流体力学の実践的スキルを身につける講習会です。Pythonプログラミングを通して実践的な解析手法を学びます。
テーマ４: 偏微分方程式の数値解析法の基礎
偏微分方程式の分類と解法
偏微分方程式は物理現象を記述する上で非常に重要です。偏微分方程式を以下の3つの型に分類し、それぞれの特性と数値解法について学びます：
- 双曲型偏微分方程式 - 波の伝播を表す方程式（例：波動方程式）
- 放物型偏微分方程式 - 拡散現象を表す方程式（例：熱伝導方程式）
- 楕円型偏微分方程式 - 定常状態を表す方程式（例：Laplace方程式）
各型の方程式に対する適切な差分法などの数値解法を理解し、安定性や収束性についても詳しく解説します。Pythonを用いた実装方法と、結果の可視化テクニックも学びます。
講習会では、各型の代表的な偏微分方程式に対して数値解を求めるPythonプログラムを実際に作成し、結果を視覚的に確認します。これにより、理論と実践の両面から偏微分方程式の数値解法を理解することができます。
テーマ５: 偏微分方程式の数値解析法の応用
非圧縮性流体の数値解析
ここでは、これまでに学んだ全ての偏微分方程式の型（双曲型、放物型、楕円型）が含まれる非圧縮性流体の解析法について学びます。特にMAC（Marker and Cell）法を中心に、流体解析の基本的な考え方と実装方法を解説します。
MAC法は流体の速度と圧力を交互に解くことで、非圧縮性の条件を満たす解を求める手法です。格子上で速度と圧力を適切に配置し、時間発展させることで流れの様子を再現します。
ハーゲンポアズイユ流れの特徴
- 円管内の定常層流
- 放物線状の速度分布
- 壁面でのゼロ速度条件
- 圧力勾配と粘性力のバランス
この古典的な問題を通じて、流体力学の基本原理と数値解析手法の関係を深く理解することができます。
講習会では、円管内の層流流れ（ハーゲンポアズイユ流れ）を例に、実際のプログラムを作成して解析を行います。理論解と数値解を比較することで、数値解析の精度や妥当性についても考察します。また、より複雑な流れの解析への発展方法や、3次元問題への拡張についても触れ、数値流体力学の奥深さと可能性を紹介します。